切頂二十面体と二十・十二面体

Truncated Icosahedron and Icosidodecahedron

正多面体の条件のうち、全ての面が1種類の正多角形で構成されているという条件をゆるめて、2種以上の正多角形で構成されている多面体を、半正多面体と言う。
半正多面体は、正多面体の各頂点を切り落とすことで作成できる場合がある。
ここで示しているのは、そうしてできる半正多面体のうち、正二十面体の各頂点を切り落とすことでできる切頂二十面体と、二十・十二面体の模型である。前者は、面のパターンがサッカーボールの模様と同じで、正六角形と正五角形で構成されている。後者は、正五角形と正三角形で構成されている。
また、前者は、正二十面体の各頂点を、各辺の中点の途中まで適当な地点で切断したものであり、後者は、中点まで切断したものである。

これらの立体について、面のパターン等を触って理解することは難しいと考えられるため、加えて、それぞれ、1つの頂点のまわりの（1つの頂点を共有する）面のみを取り出した模型も作成した。切頂二十面体では、正六角形2つと正五角形1つで構成されている。二十・十二面体では、正五角形2つと正三角形2つで構成されている。
前者では、頂点のまわりの面のパターンは、全ての頂点で同じだが、各辺をはさんでのパターンは、この模型でも分かるように正六角形と正六角形の場合と、正六角形と正五角形の場合がある。一方、後者では、頂点のまわりのパターンが、同様にどの頂点でも同じであることに加えて、辺をはさむ面のパターンも、どの辺においても同じである。即ち、正五角形と正三角形である。このように、後者は、より正多面体に近いため、準正多面体と言う。

なお、これらの面の模型の造形では、強度を保つためにモデル内部の充填率を100％にしたほうがよい。

半正多面体は、高校等の数学でも正多面体との関連で取り上げられることがあり、大学の講義等で取り上げられる。